Einfache trigonometrische Gleichung
Aufgabe 1 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung `sin(x) = 1/2` im Intervall `[-2 pi; 2 pi]`
`x_1 = sin^-1(1/2) = 1/6 pi`
Die erste Lösung liefert der Taschenrechner mit Hilfe der inversen sin-Funktion.
Wichtig: `x in bbb R =>` der Taschenrechner muss auf Bogenmaß (RAD) eingestellt sein!
`x_2 = 5/6 pi`
Pro Periode gibt es zwei unterschiedliche Lösungen .. eine aufsteigende und eine absteigende. Die zweite Lösung finden wir im Schaubild der Standard
sin-Funktion.
`x_(1k) = 1/6 pi + k · 2pi" ; "k in bbb Z`
`x_(2k) = 5/6 pi + k · 2pi" ; "k in bbb Z`
Beide Lösungen `x_1` und `x_2` wiederholen sich periodisch mit `p=2pi`
`x_(1k) = x_1 + k·p` und `x_(2k) = x_2 + k·p`
`L={-11/6pi;-7/6pi;1/6pi;5/6pi}`
Für `k=0` und `k=-1` finden wir 4 Lösungen im angegebenen Intervall
Aufgabe 2 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung `2cos(x) = -1` im Intervall `[-2 pi; 2 pi]`
`2cos(x) = -1`
`| :2`
`cos(x) = -1/2`
`x_1 = 2/3 pi`
Die erste Lösung liefert der Taschenrechner mit Hilfe der inversen cos-Funktion.
Wichtig: `x in bbb R =>` der Taschenrechner muss auf Bogenmaß (RAD) eingestellt sein!
`x_2 = 4/3 pi`
Pro Periode gibt es zwei unterschiedliche Lösungen .. eine aufsteigende und eine absteigende. Die zweite Lösung finden wir im Schaubild der Standard cos-Funktion.
`x_(1k) = 2/3 pi + k · 2pi" ; "k in bbb Z`
`x_(2k) = 4/3 pi + k · 2pi" ; "k in bbb Z`
Beide Lösungen`x_1` und `x_2` wiederholen sich periodisch mit `p=2pi`
`x_(1k) = x_1 + k·p` und `x_(2k) = x_2 + k·p`
`L={-4/3pi;-2/3pi;2/3pi;4/3pi}`
Für `k=0` und `k=-1` finden wir 4 Lösungen im angegebenen Intervall