Trigonometrische Gleichungen mit Substitution
Aufgabe 1 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung `2sin(2x) = root()(3)` im Intervall `[0; 2 pi]`
`2sin(2x) = root()(3)`
`| :2`
`<=> sin(2x) = (root()(3))/2`
Substitution: `z := 2x`
`=> sin(z) = (root()(3))/2`
`=> z_1 = sin^-1((root()(3))/2) = 1/3 pi`
Die erste Lösung für `z` liefert der Taschenrechner mit Hilfe der inversen sin-Funktion.
Wichtig: `x in bbb R =>` der Taschenrechner muss auf Bogenmaß (RAD) eingestellt sein!
`=> z_2 = 2/3 pi`
Pro Periode gibt es zwei unterschiedliche Lösungen .. eine aufsteigende und eine absteigende. Die zweite Lösung finden wir im Schaubild der Standard sin-Funktion.
`=> x_(1) = 1/2 · 1/3 pi = 1/6 pi`
`=> x_(2) = 1/2 · 2/3 pi = 2/6 pi = 1/3 pi`
Resubstitution `x = 1/2 z`
`=> x_(1k) = 1/6 pi + k · pi" ; "k in bbb Z`
`=> x_(2k) = 1/3 pi + k · pi" ; "k in bbb Z`
Beide Lösungen `x_1` und `x_2` wiederholen sich periodisch mit `p = (2pi)/2 = pi`
`x_(1k) = x_1 + k·p` und `x_(2k) = x_2 + k·p`
`L={1/6 pi; 1/3 pi; 7/6 pi; 4/3 pi}`
Für `k =0` und `k=1` finden wir Lösungen im angegebenen Intervall
Aufgabe 2 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung `cos(pi*x) = -1/2*sqrt(2)` im Intervall `[-3; 3]`
`cos(pi*x) = -1/2sqrt(2)`
`<=> cos(pi x) = -sqrt(2)/2`
Substitution: `z := pi x`
`=> cos(z) = -sqrt(2)/2`
`=> z_1 = cos^-1(-sqrt(2)/2) = 3/4 pi`
Die erste Lösung für `z` liefert der Taschenrechner mit Hilfe der inversen cos-Funktion.
Wichtig: `x in bbb R =>` der Taschenrechner muss auf Bogenmaß (RAD) eingestellt sein!
`=> z_2 = 5/4 pi`
Pro Periode gibt es zwei unterschiedliche Lösungen .. eine aufsteigende und eine absteigende. Die zweite Lösung finden wir im Schaubild der Standard cos-Funktion.
`=> x_(1) = 1/pi · 3/4 pi = 3/4`
`=> x_(2) = 1/pi · 5/4 pi = 5/4`
Resubstitution `x = 1/pi z`
`=> x_(1k) = 3/4 + k · 2" ; "k in bbb Z`
`=> x_(2k) = 5/4 + k · 2" ; "k in bbb Z`
Beide Lösungen`x_1` und `x_2` wiederholen sich periodisch mit `p = (2pi)/pi = 2`
`x_(1k) = x_1 + k·p` und `x_(2k) = x_2 + k·p`
`L={-11/4; -5/4; -3/4; 3/4; 5/4; 11/4}`
Für `k in {-1;0;1}` finden wir Lösungen im angegebenen Intervall
Aufgabe 3 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung `cos(x+pi) = -1/2sqrt(2)` im Intervall `[-2 pi; 2 pi]`
`cos(x+pi) = -1/2sqrt(2)`
`<=> cos(x+pi) = -sqrt(2)/2`
Substitution: `z := x + pi`
`=> cos(z) = -sqrt(2)/2`
`=> z_1 = cos^-1(-sqrt(2)/2) = 3/4 pi`
Die erste Lösung für `z` liefert der Taschenrechner mit Hilfe der inversen cos-Funktion.
Wichtig: `x in bbb R =>` der Taschenrechner muss auf Bogenmaß (RAD) eingestellt sein!
`=> z_2 = 5/4 pi`
Pro Periode gibt es zwei unterschiedliche Lösungen .. eine aufsteigende und eine absteigende. Die zweite Lösung finden wir im Schaubild der Standard cos-Funktion.
`=> x_(1) = 3/4 pi - pi = -1//4 pi`
`=> x_(2) = 5/4 pi - pi = 1/4 pi`
Resubstitution `x = z - pi`
`=> x_(1k) = -1/4 pi + k · 2pi" ; "k in bbb Z`
`=> x_(2k) = 1/4 pi + k · 2pi" ; "k in bbb Z`
Beide Lösungen`x_1` und `x_2` wiederholen sich periodisch mit `p = 2pi`
`x_(1k) = x_1 + k·p` und `x_(2k) = x_2 + k·p`
`L={-7/4 pi; -1/4 pi; 1/4 pi ; 7/4 pi}`
Durch probieren (einsetzen verschiedener `k`) finden wir die Lösungen im Intervall