Exponentialgleichungen lösen mit Substitution

Aufgabe 1   Gesucht sind die Lösungen der Gleichung `e^(2x)-5e^x = -6`

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`e^(2x)-5e^x = -6` Substitution: `u := e^x` `=> u^2 - 5u = -6` `| +6` `<=> u^2 - 5u + 6 = 0` Die quadratische Gleichung in u kann mit der MNF gelöst werden. `=> u_(1,2) = (-(-5)+-root()((-5)^2-4*1*6))/(2*1)` `a=1`,   `b=-5`,   `c=6` `= (5+-sqrt(25-24))/(2) = (5+-sqrt(1))/(2) = (5+-1)/(2)` `=> u_1 = 3;" " u_2 = 2` Resubstitution .. `e^(x_1) = 3 => x_1 = ln 3`
`e^(x_2) = 2 => x_2 = ln 2`

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Aufgabe 2   Gesucht sind die Lösungen der Gleichung `e^x - 5 + 4e^(-x) = 0`

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`e^x - 5 + 4e^(-x) = 0` `| · e^x` .. wenn es negative und positive Exponenten mit `x` gibt, empfiehlt es sich, mit `e^x` durchzumultiplizieren `<=> e^(2x) - 5e^x + 4 = 0` Substitution: `u := e^x` `=> u^2 - 5u + 4 = 0` Die quadratische Gleichung in u kann mit der MNF gelöst werden. `=> u_(1,2) = (-(-5)+-root()((-5)^2-4*1*4))/(2*1)` `a=1`,   `b=-5`,   `c=4` `= (5+-sqrt(25-16))/(2) = (5+-sqrt(9))/(2) = (5+-3)/(2)` `=> u_1 = 4;" " u_2 = 1` Resubstitution .. `e^(x_1) = 4 => x_1 = ln 4 = 2 ln 2`
`e^(x_2) = 1 => x_2 = ln 1 = 0`