Kurvendiskussion

Aufgabe Untersuche die Funktion `f(x) = (1 - x)^2 e^x` ..

Im Laufe der Untersuchungen werden die ersten beiden Ableitungen benötigt ..

`f'(x) = x^2 e^x - e^x = e^x(x^2-1)` `f''(x) = 2x e^x + x^2 e^x - e^x = e^x(x^2+x-1)`

Nullstellen: Für Nullstellen gilt `f(x) = 0`

`(1 - x)^2 e^x = 0` || SVNM `1-x = 0 ^^ e^x = 0` der Faktor `e^x` kann nicht 0 werden `=> x = 1` doppelte Lösung, da der Faktor (1-x) doppelt vorkommt

Da es sich bei `x=1` um eine doppelte Nullstelle handelt, berührt hier der Funktionsgraph die x-Achse. Man weiß also auch bereits, dass dort ein Extrempunkt vorliegt.

Symmetrie: Das Schaubild könnte achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Usprung sein

Da es zur Nullstelle bei `x=1` keine symmetrische Nullstelle bei `x=-1` gibt, kann weder Achsensymmetrie, noch Punktsymmetrie vorliegen.

Asymptoten: Bei Exponentialfunktionen können eventuell horizontale oder schiefe Asymptoten gefunden werden

Der Funktionsterm ist ein Produkt aus zwei Faktoren. Einer davon ist eine nach oben geöffnete Parabel, der andere ist die Standard `e`-Funktion.

Verhalten für `x -> - oo`:

`lim_(x->-oo)(1-x)^2 -> +oo` `lim_(x->-oo) e^x -> 0+0` `e^x` geht schneller gegen `0`, als die Parabel gegen `oo` `=> lim_(x->-oo) (1-x)^2e^x -> 0+0`

Auf der linken Seite gibt es eine asymptotische Annäherung von oben an die x-Achse

Verhalten für `x -> + oo`:

`lim_(x->+oo)(1-x)^2 -> +oo` `lim_(x->+oo) e^x -> +oo` `=> lim_(x->+oo) (1-x)^2e^x -> oo`

Extrempunkte: Nullstellen der ersten Ableitung sind Kandidaten für Extremstellen. Wir suchen Lösungen von `f'(x) = 0`

`f'(x) = 0` `=> x^2 e^x - e^x = 0` || `e^x` ausklammern `=> e^x(x^2-1) = 0` der Faktor `e^x` kann nicht 0 werden `=> x=+- 1` zwei einfache Nullstellen

Da es sich um einfache Nullstellen handelt, gibt es dort einen Vorzeichenwechsel in der Steigung. Es liegt also sowohl bei `x=-1`, als auch bei `x=1` eine Extremstelle vor. Durch Einsetzen der Stellen in die zweite Ableitung kann die Krümmung festgestellt und damit zwischen Maximal- und Minimalstelle unterschieden werden. Durch Einsetzen in die Funktion selbst, kann jeweils der Funktionswert des Extrempunkts berechnet werden

Stelle `x = -1`:

`=> f''(-1) = ... = - 2"/"e` `lt 0 =>` .. Steigung nimmt ab `=>` Maximum `=> f(-1) ~~ 1,44` `=> HP(-1|1,44)`

Stelle `x = 1`:

`=> f''(1) = 2e` `gt 0 =>` .. Steigung nimmt zu `=>` Minimum `=> f(1) = 0` `=> HP(1|0)`

Steigungsverhalten: In welchen Bereichen steigt und fällt der Graph?

Aus der Beschaffenheit der Extrema kann das Steigungsverhalten unmittelbar gefolgert werden.

Monoton steigend für `]-oo; -1[` Monoton fallend für `]-1; 1[` Monoton steigend für `]1; +oo[`

Wendepunkte: Nullstellen der zweiten Ableitung sind Kandidaten für Wendestellen. Wir suchen Lösungen von `f''(x) = 0`

`f''(x) = 0` `=> e^x(x^2+x-1) = 0` der Faktor `e^x` kann nicht 0 werden `=> x^2+x-1 = 0` || MNF `=> x= -1/2 +-1/2 sqrt(5)`

Da es sich um einfache Nullstellen handelt, gibt es dort einen Vorzeichenwechsel in der Krümmung. Es liegen also zwei Wendestellen vor.

Stelle `x = -1/2 -1/2 sqrt(5)`:

`=> f(-1/2 -1/2 sqrt(5)) = ... ~~ 1,36` `=> WP_1(-1/2 -1/2 sqrt(5)|1,36)`

Stelle `x = -1/2 +1/2 sqrt(5)`:

`=> f(-1/2 +1/2 sqrt(5)) = ... ~~ 0,27` `=> WP_2(-1/2 +1/2 sqrt(5)|0,27)`

Krümmungsverhalten: In welchen Bereichen ist der Graph links-, bzw. rechtsgekrümmt?

Aufgrund der bereits berechneten Krümmungen an den Extremstellen kann das Krümmungsverhalten unmittelbar gefolgert werden.

Die Krümmung an der Stelle `x=-1` ist negativ. Wenn bei `x=-1,62` und `x=0,62` jeweils ein Krümmungswechsel vorliegt, dann gilt ..

Linkskrümmung für `]-oo; -1,62[` Rechtskrümmung für `]-1,62; 0,62[` Linkskrümmung für `]0,62; +oo[`

Schaubild: Das Schaubild soll alle besonderen Punkt enthalten