Aufgabe 1 Berechne die Koordinaten der Extrempunkte der Funktion `f(x) = 1/3x^3-x^2+2`. Um welche Art von Extrempunkt handelt es sich jeweils?
Die Ableitungsfunktion hat zwei einfache Nullstellen. Aus der Tatsache, dass es sich um einfache NS handelt, kann man folgern, dass hier jeweils Vorzeichenwechsel stattfinden. Bei den beiden Stellen handelt es sich also um Extremstellen. Die y-Koordinaten der zugehörigen Punkte erhält man, indem man die Stellen in die Funktion `f` einsetzt ..
Da es sich bei der Funktion `f` um eine Polynomfunktion 3. Grades mit Verlauf von III `->` I handelt, kann man folgern, dass es sich bei dem linken `EP_1` um einen HP und beim rechten `EP_2` um einen TP handeln muss.
Eine andere Möglichkeit, um auf die Art der Extrempunkte zu schließen, ist die Betrachtung der Ableitungsfunktion. Hier handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parable. An deren linken Nullstelle findet also ein Vorzeichenwechsel von plus nach minus statt, was auf eine Maximalstelle hinweist. An der rechten Nullstelle erfolgt ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus. Hier handelt es sich also um eine Minimalstelle.
Aufgabe 2 Gegeben ist die funktion `g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1`. Prüfe, ob die Funktion Extrempunkte hat!
Die Ableitungsfunktion hat eine doppelte Nullstelle bei `x=1`. Hier findet kein Vorzeichenwechsel statt. Es handelt sich also um eine Sattelstelle. Die Ableitungsfunktion liefert neben der Nullstelle ausschließlich positive Werte. Die Steigung von `g` ist also vor und nach der Sattelstelle positiv.