Der Zähler lässt sich nicht faktorisieren. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner. Der\n Bruchterm kann nicht gekürzt werden.
\n \n\n\n
Strategie
\n
\n Beim Vereinfachen von Termen kommen verschiedene Umformungswerkzeuge zum Einsatz:\n
\n
\n
Zusammenfassen
\n
Ausmultiplizieren, Klammern auflösen
\n
Kürzen oder Erweitern
\n
Ausklammern, bzw. Faktorisieren
\n
Pozenzgesetze und Wurzelgesetze anwenden
\n
...
\n
\n
\n Damit der Term beim Umformen nicht komplexer sondern tatsächlich einfacher wird, gilt es die passenden Umformungen\n strategisch geschickt hintereinander auszuführen. Ein paar Anhaltspunkte hierfür folgen:\n
\n
\n
Grundsätzlich versucht man, Klammern aufzulösen, Summen (oder Differenzen) zusammenzufassen, Brüche zu kürzen\n und Zahlen miteinander zu verrechnen
\n
Um Brüche addieren zu können, muss man vorher meist erweitern mit dem Ziel, sie auf einen gemeinsamen Nenner zu\n bringen
\n
Um Brüche kürzen zu können, muss man vorher meist faktorisieren mit dem Ziel, gemeinsame Faktoren von Zähler und\n Nenner zu finden
\n
Um zusammenfassen zu können, muss man vorher meist ausmultiplizieren und Klammern auflösen, sodass eine Summe\n entsteht
\n
\n
\n Im Laufe der Umformungen kann ein Term durchaus auch mal länger werden, wie die nachfolgenden Beispiele zeigen.\n
\n
Beispiel
\n\n `- (1 + m^2)(1 - m^2)`\n `= - (1 - m^2 + m^2 - m^4)`\n Wer im Ausgangsterm das 3. Binom erkennt, braucht diesen Zwischenschritt nicht\n `= - (1 - m^4)`\n `= - 1 + m^4 = m^4 - 1`\n Beide Varianten sind gleichwertig\n\n
Beispiel mit Brüchen
\n\n `\\display\\(x-y)/(x^2-y^2)-1/(x+y)`\n Der Term ist eine Differenz zweier Brüche. Um die Brüche zusammenfassen zu können, müssen sie gleichnamig\n gemacht werden. Dafür wird der Nenner des linken Bruches zunächst mal mit Hilfe des 3. Binoms faktorisiert\n `\\display\\= (x-y)/((x+y)(x-y))-1/(x+y)`\n Es fällt auf, dass beim linken Bruch `(x-y)` gekürzt werden kann\n `\\display\\= cancel(x-y)/((x+y)(cancel(x-y)))-1/(x+y)`\n `\\display\\= 1/(x+y)-1/(x+y)`\n Man sieht schon, dass das Null ergibt\n `\\display\\= (1-1)/(x+y) = 0/(x+y) = 0`\n\n
Noch ein Beispiel
\n\n `\\display\\(a+b)/(a-b)+(a-b)/(a+b) + 4(ab)/(a^2-b^2)`\n Der Term ist eine Summe dreier Brüche. Um die Brüche zusammenfassen zu können, müssen sie gleichnamig\n gemacht werden. Dafür wird der Nenner des rechten Bruches mit Hilfe des 3. Binoms faktorisiert. Außerdem wird\n die `4` auf den Zähler gehoben (vergleiche `2· 1/3 = (2·1)/3 = 2/3`)\n `\\display\\= (a+b)/(a-b)+(a-b)/(a+b) + (4ab)/((a+b)(a-b))`\n Der Nenner des 3. Bruchs ist der Hauptnenner. Die beiden anderen werden so erweitert, dass sie den gleichen\n Nenner haben\n `\\display\\= (a+b)^2/((a+b)(a-b)) + (a-b)^2/((a+b)(a-b)) + (4ab)/((a+b)(a-b))`\n Nun kann man alles auf einen Bruch schreiben\n `\\display\\= ((a+b)^2 + (a-b)^2 + 4ab)/((a+b)(a-b))`\n Um den Zähler zusammenfassen zu können, muss man die Klammern ausmultiplizieren\n `\\display\\= (a^2+2ab+b^2 + a^2-2ab+b^2 + 4ab)/((a+b)(a-b))`\n `\\display\\= (2a^2+4ab+2b^2)/((a+b)(a-b))`\n Um den Bruch kürzen zu können, muss man den Zähler faktorisieren\n `\\display\\= (2(a^2+2ab+b^2))/((a+b)(a-b))`\n `\\display\\= (2(a+b)^2)/((a+b)(a-b))`\n Nun kann man den Faktor `(a+b)` kürzen\n `\\display\\= (2cancel((a+b))(a+b))/(cancel((a+b))(a-b))`\n `\\display\\= (2(a+b))/(a-b) = 2(a+b)/(a-b) = (2a+2b)/(a-b)`\n Darüber, welche dieser drei Varianten die einfachste Form ist, lässt sich streiten\n\n","modified":1677934264329,"author":"Holger Engels","keywords":"","thumb":"","educationalLevel":"7,8,9,10","typicalAgeRange":"12-15","educationalContext":"Sekundarstufe I","sgs":"38001","created":1677884400000}