Das Skalarprodukt liefert eine Zahl (Skalar)
Skalarprodukt mit Winkel
`vec a circ vec b = abs(vec a)·abs(vec b)·cos alpha`
Meist sind die Koordinaten der Vektoren, nicht aber der Winkel zwischen den Vektoren bekannt. Dann ist die Koordinatenform des Skalarprodukts der geeignete Weg.
Koordinatenform
2D: `vec a = ((a_1),(a_2)), vec b = ((b_1),(b_2)) => vec a circ vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2`
3D: `vec a = ((a_1),(a_2),(a_3)), vec b = ((b_1),(b_2),(b_3)) => vec a circ vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3`
Der Betrag des einen Vektors wird mit dem Betrag des gleichgerichteten Anteils des anderen Vektors multipliziert.
Bewege die Pfeilspitzen und beobachtem dass `vec p_b` eine Projektion von `vec b` auf `vec a` ist. Das Skalarprodukt ist die Länge von `vec a` mal die Länge von `vec p_b`.
Switche dann auf b→a ! Nun ist `vec p_a` eine Projektion von `vec a` auf `vec b` ist. Das Skalarprodukt ist die Länge von `vec b` mal die Länge von `vec p_a`.
Wenn du einen rechten Winkel einstellst, wird das Skalarprodukt null. Für welche Winkel ist das Skalarprodukt negativ?
Der Betrag, bzw. die Länge eines Vektors ist die Wurzel des Skalarprodukts eines Vektors mit sich selbst.
`abs(vec a) = sqrt(vec a circ vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2 + ...)`Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, dann ist ihr Skalarprodukt gleich 0. Dass das so ist, sieht man ganz einfach bei der Winkelvariante oben. Wenn hier `alpha = 90°` ist, dann ist `cos alpha = 0`, damit ist das Produkt Null. Für die vektorielle Variante lässt es sich auch schnell herleiten (siehe Serlo -> Verwendung des Skalarprodukts).