Ein Vektor kann als Linearkombination der anderen dargestellt werden
Mit einem Vektor kann man durch Streckung jeden beliebigen Punkt auf einer Gerade erreichen. Mit 2 Vektoren, die nicht parallel und damit linear unabhängig sind, kann man durch Linearkombination jeden beliebigen Punkt in einer Ebene erreichen. Man sagt auch: Eine Ebene wird von zwei Vektoren aufgespannt. Mit 3 Vektoren, die linear unabhängig sind, kann man jeden beliebigen Punkt im 3-dimensionalen Raum erreichen. Gäbe es eine lineare Abhängigkeit zwischen den 3 Vektoren, könnte man also den 3. durch Linearkombination der ersten beiden ausdrücken, lägen diese 3 in einer Ebene und würden keinen Raum aufspannen. Entsprechendes gilt für Räume mit beliebig vielen Dimensionen.
Bei zwei Vektoren ist es sehr einfach festzustellen, ob sie linear abhängig sind oder nicht. Lineare Abhängigkeit besteht hier genau dann, wenn sich der eine als Vielfaches des anderen darstellen lässt. Also dann, wenn es ein `k` gibt, sodass gilt:
`vec b = k· vec a`Gibt es kein solches `k`, sind die Vekoren nicht linear unabhängig.
Hier ist es ein wenig schwieriger. Hier besteht auch dann eine lineare Abhängigkeit, wenn sich ein Vektor als Linearkombination mehrerer anderer darstellen lässt. Also immer dann, wenn gilt:
`vec a = k_1· vec b + k_2· vec c + ...`Um das herauszufinden, muss man das lineare Gleichungssystem lösen, das hinter dieser Vektorgleichung steckt. Hat es eine Lösung, besteht lineare Abhängigkeit. Hat es keine, lässt sich `vec a` offenbar nicht als Linearkombination der Vektoren `vec b, vec c, ...` darstellen.