\n Die Fläche eines Trapezes berechnet sich aus seiner Breite mal dem Mittelwert der Höhen. Wenn man das für\n alle Streifen macht, ergibt sich die Trapezsumme als Mittelwert der Ober- und Untersumme.Obersumme
\n \n
\n \n Säule `s` 1 2 3 4 \n `x_s=s·Delta x` 0,5 1 1,5 2 \n `y_s=x_s^2` 0,25 1 2,25 4 \n `A_s=Delta x·y_s` 0,125 0,5 1,125 2 \n `\\display\\A_O=sum_(i=1)^n A_i = 3,75` Untersumme
\n \n
\n \n Säule `s` 1 2 3 4 \n `x_s=(s-1)·Delta x` 0,5 1 1,5 2 \n `y_s=x_s^2` 0,25 1 2,25 4 \n `A_s=Delta x·y_s` 0,125 0,5 1,125 2 \n `\\display\\A_U=sum_(i=1)^n A_i = 1,75` Trapezsumme
\n \n
\n \n `\\display\\A_T=(A_O+A_U)/2 = 2,75`
\n Das anhängende GeoGebra (OberUnterTrapez.ggb) zeigt, dass alle 3 Näherungen für `n -> infty` gegen die tatsächliche\n Fläche konvergieren.\n
\n\n Es wird weiterhin das Intervall `[0;2]` betrachtet. Die rechte Grenze des Intervalls wird mit `b` bezeichnet. `b`\n ist zugleich die Breite des Intervalls. Dann ist die Streifenbreite `Delta x = b / n` und die Streifenfläche ergibt\n sich allgemein zu `A_s = Delta x · f(s·Delta x) = b/n · f(s·b/n)` mit `s = 1 ... n`.\n
\n`O_n = Delta x · f(1·Delta x) + Delta x · f(2·Delta x) + ... + Delta x · f(n·Delta x)`Wenn man `n` gegen Unendlich gehen lässt, gehen die beiden Brüche gegen Null:
\n `\\display\\lim_(n->infty) b^3 · 1/6 ·(2+3/n+1/n^2) = b^3·1/6·2 = 1/3 b^3`\nDie Untersumme und die Trapezsumme sind etwas aufwändiger zu rechnen. Bei beiden ergibt sich für `n->infty` das gleiche\n Ergebnis. Daher ist es auch egal, ob man für die Säulenhöhe, den Funktionswert an deren linken Rand, an deren rechten Rand\n oder irgendeinen dazwischen heranzieht.
\n\n Wähle die Art der Summe aus und variiere die Anzahl der Streifen `n`!\n Beobachte, wie sich die Summenfläche für zunehmende `n` der\n tatsächlichen Fläche unter der Kurve recht schnell annähert. Beachte: die\n Funktion ist im voreingestellten Intervall nicht monoton steigend, wie im\n Beispiel oben. Hier unterscheiden sich Rechtssumme und Obersumme, sowie\n Linkssumme und Untersumme.\n
\n\n\n","thumb":"Obersumme.svg","links":"","depends":[],"attachments":[{"tag":"","name":"Untersumme","file":"Untersumme.svg","mime":"image/svg+xml","type":"file","href":"data/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme/Untersumme.svg"},{"tag":"","name":"Trapezsumme","file":"Trapezsumme.svg","mime":"image/svg+xml","type":"file","href":"data/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme/Trapezsumme.svg"},{"tag":"","name":"Fläche","file":"Fläche.svg","mime":"image/svg+xml","type":"file","href":"data/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme/Fl%C3%A4che.svg"},{"tag":"idea","name":"OberUnterTrapez","file":"OberUnterTrapez.ggb","mime":"application/vnd.geogebra-classic.file","type":"file","href":"data/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme/OberUnterTrapez.ggb"},{"tag":"","name":"riemann-sum","file":"riemann-sum.html","mime":"text/html","type":"file","href":"data/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme/riemann-sum.html"},{"tag":"","name":"Obersumme","file":"Obersumme.svg","mime":"image/svg+xml","type":"file","href":"data/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme/Obersumme.svg"}],"subject":"Mathematik","module":"Analysis","chapter":"Integralrechnung","topic":"Obersumme und Untersumme","name":"Obersumme und Untersumme","keywords":"Riemannsumme, Trapezsumme, Linkssumme, Rechtssumme, Streifenmethode des Archimedes, Interaktives Erkunden, Spielerisches Lernen","author":"Holger Engels","created":1617314400000,"modified":1683126311763,"priority":1,"educationalLevel":"11,12,13","typicalAgeRange":"16-18","educationalContext":"Sekundarstufe II","sgs":"38002","skills":[],"_attachments":{"Obersumme.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":38,"digest":"md5-xJqBF+4JizN4VANZxKdWGA==","length":19298,"stub":true},"riemann-sum.html":{"content_type":"text/html","revpos":31,"digest":"md5-UfDFD4RT3yjxCpaQZ4/m1Q==","length":4938,"stub":true},"OberUnterTrapez.ggb":{"content_type":"application/vnd.geogebra-classic.file","revpos":8,"digest":"md5-T0ghZVRcFgb+j7MbO5xfQA==","length":63125,"stub":true},"Fläche.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":5,"digest":"md5-gxZ39ao1JHBz3xcNiew1Sg==","length":26419,"stub":true},"Trapezsumme.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":4,"digest":"md5-aVIlegBtmJW0LUCHum5CgA==","length":19310,"stub":true},"Untersumme.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":3,"digest":"md5-LOfQaAwqRNbPV84e04OK6g==","length":19298,"stub":true}}}