\n \n\n \n Der Temperaturverlauf wird durch eine trigonometrische Funktion interpoliert, im Schaubild grün dargestellt. Der\n Funktionsterm lautet:\n \n Die Temperaturkurve verläuft zeitweise oberhalb und zeitweise unterhalb der mittleren Tagestemperatur. Im Schaubild\n ist die Fläche unter der Kurve grün und die Fläche unter dem Mittelwert blau eingezeichnet. Auch hier erkennt man,\n dass die grüne und die blaue Fläche gleich groß sind. Die Bereiche, wo die Funktion oberhalb des Mittelwerts und\n unterhalb des Mittelwerts laufen, heben einander auf.\n \n
\n
\n Für die Höhe des blauen Rechtecks gilt `h = A / b`. Man kann den mittleren Funktionswert also ausrechnen,\n indem man die Fläche unter der Kurve bestimmt und durch die Breite des Intervalls teilt.\n
\n`\\display\\bar m = 1/24 int_0^24 (-5cos(1/12 pi t)+15)dt = 1/24 [-60 sin(1/12 pi t) + 15t]_0^24`\n Allgemein ergibt sich die Formel für den Mittelwert einer Funktion über ein Intervall zu:\n
\n`\\display\\bar m = 1 / (b-a) · int_a^b f(x)·dx`\n\n Das GeoGebra Integral Mittelwert.ggb zeigt sehr anschaulich, dass die Fläche unter der Kurve und die Fläche\n unter dem Mittelwert gleich groß sind.\n
\n\n\n Die horizontale gestrichelte Linie bei `y~~1,15` ist das Mittel der Funktionswerte im Intervall `[0; 5]`.\n Die Rechtecksfläche unter dieser Mittelwertlinie ist genauso groß, wie die Fläche unter der Kurve (grau).\n Der dunkelgraue Teil über der Mittelwertlinie ist genauso groß, wie die beiden roten Teile zusammen.\n
\n\n Schiebe den Regler (roter Punkt) nach rechts und beobachte, wie sich die roten und das dunkelgraue\n Flächenstück \"rausmitteln\"! Wenn du ihn ganz nach rechts geschoben hast, siehst du das Rechteck komplett\n in grau. Seine Fläche ist genauso groß, wie die unter der Kurve und seine Höhe entspricht dem Mittelwert.\n
\nWissenswert: Die Berechnung des Mittelwerts funktioniert auch für Funktionen, die unterhalb der x-Achse verlaufen und auch dann, wenn die Funktion die x-Achse im Intervall schneidet. Sie liefert selbst dann das selbe Ergebnis, wenn man die Integrationsgrenzen vertauscht, denn dann ändert sich das Vorzeichen im Zähler und im Nenner.
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