\n `-> f(x)` verhält sich wie die Vergleichsfunktion `h(x) = a_nx^n`, `n` ist der Grad von `f`\n \n \n\n
Warum das so ist, lässt sich am besten an einem konkreten Beispiel erklären.
\n\nWie verhält sich die Funktion `f(x) = 1/2 x^3 - 10 x^2 - 2x + 1` für `x -> +-oo` ?
\n\nUm dies zu untersuchen, wird `x` in der höchsten vorkommenden Potenz ausgeklammert:
\n`\\display\\<=> f(x) = x^3 (1/2 - 10 1/x - 2/x^2 + 1/x^3)`\n\n Es mag zunächst etwas ungewohnt erscheinen, `x` in einer höheren, als der minimal vorkommenden Potenz auszuklammern.\n Zum Zweck der Termvereinfachung würde man dies nicht tun. Wenn man für diesen Ausdruck aber nun den Grenzwert für\n `x->oo` ansetzt, sieht man, dass in der Klammer einzig der erste Summand (`1/2`) übrig bleibt. Alle anderen\n Summanden gehen für große `x` (im Nenner!) gegen `0`.\n
\n`\\display\\=> lim_(x->+-oo) x^3 (1/2 - 10 1/x - 2/x^2 + 1/x^3) = 1/2 x^3`\n\n Für große `x` lässt sich der Term also mit `f(x) = 1/2 x^3` annähern. Je größer das `x`, desto besser die Näherung.\n Damit lässt sich schließen, dass sich der Term für `x -> +- oo` wie der Summand mit `x` in der höchsten Potenz\n verhält. Wenn man also wissen möchte, ob eine Funktion für `x->+-oo` nach `+oo` oder `-oo` strebt, muss\n man nur den Summanden mit `x` in der höchsten Potenz anschauen.\n
\n\nIn der Wertetabelle sieht man, dass sich die Funktionswerte von `f(x)` und der Vergleichsfunktion `h(x)` für\n zunehmende `x` immer weniger unterscheiden. Für betragsmäßig große negative `x` sieht das ähnlich aus.
\nx | \nf(x) | \nh(x) | \n
---|---|---|
`100` | \n`3,99801*10^5` | \n`5,0*10^5` | \n
`1000` | \n`4,89998*10^8` | \n`5,0*10^8` | \n
`10000` | \n`4,99000*10^11` | \n`5,0*10^11` | \n
`100000` | \n`4,99900*10^14` | \n`5,0*10^14` | \n
`1000000` | \n`4,99990*10^17` | \n`5,0*10^17` | \n
Im Schaubild sieht man, dass die Schaubilder von `f` und `h` im globalen Verlauf konvergieren.
\n\n Man kann also am Vorzeichen des Summanden mit dem größten Exponenten von `x` ablesen, ob die Funktionswerte für\n `x->+-oo` gegen plus oder minus Unendlich streben. Für das Beispiel könnte man notieren:\n
\nfür `x-> +oo` gilt `f(x) -> +oo`
\nfür `x-> -oo` gilt `f(x) -> -oo`
\nDer Funktionsgraph verläuft also vom III. in den I. Quadranten, bzw. von links unten nach rechts oben.
\n\n\nWie verhält sich die Funktion `f(x) = 1/2 x^3 - 10 x^2 - 2x + 1` für `x -> 0` ?
\n\n\n Das Verhalten der Funktion für `x->oo` entspricht der Art und Weise, wie ihr Graph die y-Achse schneidet: bei\n welchem Wert und mit welcher Steigung.\n
\n\n\n Den Wert kann man einfach ausrechnen, indem man `0` in die Funktion einsetzt. Da bleibt dann nur die Konstante (der\n y-Achsenabschnitt) übrig. Im Beispiel ist das die `1`. Auf die Steigung kommt man, wenn man sich überlegt, was\n passiert, wenn man eine sehr kleine Zahl in die Funktion einsetzt, z.B. `1/1000`\n
\n`f(1/1000) = 1/2 * (1/1000)^3 - ... = 1/2 * 1/1000000000` - ...\n\n Man sieht, dass kleine Zahlen durch das Potenzieren noch viel kleiner werden. Sprich: je höher die Potenz, desto\n weniger trägt der Summand für kleine `x` zum Funktionswert bei. Am meisten trägt noch der Summand mit der kleinsten\n Potenz bei. Im Beispiel ist das `-2x`. Die Funktion verhält sich also nahe der y-Achse, wie die Vergleichsfunktion\n `g(x) = -2x + 1` .\n
\n\nIm Schaubild sieht man, dass sich das Schaubild von `f` im Bereich der y-Achse an das von `g` anschmiegt.
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