\n `w(0) = 5`
\n `w(1) = 5 + 2 = 7`
\n `w(2) = 5 + 2 + 2 = 9`
\n `w(3) = 5 + 2 + 2 + 2 = 11`
\n `w(t) = 5 + 2 · t`
\n\n
Wachstum ist konstant
\n \nKonstanter Faktor
\n `w(t) = a · b^t`\nAnfangswert und Wachstumsfaktor
\n\n Beispiel a = 5; b = 2Wachstum ist proportional zum Bestand
\n\n Ein Wachstumsprozess kann wahlweise mit einer Exponentialfunktion mit dem Wachstumsfaktor als Basis dargestellt\n werden oder mit einer e-Funktion zur natürlichen Basis `e` mit Wachstumskonstante.\n
\n`f(t) = a·b^t = a·e^(k·t)`\n\n Bakterienwachstum: `f(t) = 10·2^t ~~ 10·e^(0,69t)`\n
\n\n Im Schaubild erkennt man, dass das Wachstum immer proportional zum aktuellen Bestand ist. In gleichen\n Zeitabschnitten nimmt der Bestand immer um denselben Faktor zu. Für den Zeitpunkt `t_1 = t_0 + 1` gilt:\n `f(t_1) = f(t_0)·b`\n
\n\n Um einen exponentiellen Wachstumsprozess zu beziffern, wird oft die sogenannte Verdopplungszeit herangezogen: die\n Zeit, in der sich der Bestand jeweils verdoppelt. Die Verdopplungszeit kann ganz einfach mit der Gleichung\n `f(t) = 2a` berechnet werden.\n
\n\n\n Ein Zerfallsprozess kann ebenfalls wahlweise mit einer Exponentialfunktion mit dem Zerfallsfaktor als Basis\n oder mit einer e-Funktion zur natürlichen Basis `e` mit Zerfallskonstante dargestellt werden. Der Term einer\n Zerfallsfunktion ist gleich aufgebaut, wie der der Wachstumsfunktion. Lediglich die Wertebereiche für `b` und `k`\n sind andere.\n
\n`f(t) = a·b^t = a·e^(k·t)`\n\n Bierschaumzerfall: `f(t) = 20·0,75^t ~~ 20·e^(-0,29t)`\n
\n\n Im Schaubild erkennt man, dass der Zerfall immer proportional zum aktuellen Bestand ist. In gleichen\n Zeitabschnitten nimmt der Bestand immer um denselben Faktor ab. Für den Zeitpunkt `t_1 = t_0 + 1` gilt:\n `f(t_1) = f(t_0)·b`\n
\n\n Um einen exponentiellen Zerfallsprozess zu beziffern, wird oft die sogenannte Halbwertszeit herangezogen: die\n Zeit, in der sich der Bestand jeweils halbiert. Die Halbwertszeit kann ganz einfach mit der Gleichung\n `f(t) = 1/2 a` berechnet werden.\n
\n\n\n\n Ein Bestand oder ein Objekt wächst zunächst schnell und dann immer langsamer, je mehr er / es sich der sogenannten\n Sättigungsgrenze nähert.\n
\n`f(t) = S + a·e^(k·t)`\n\n Baumwachstum: `f(t) = 30 - 29·e^(-0,223·t)` .. der Baum ist am Anfang 1 m und wird maximal 30 m groß\n
\n\n Im Schaubild erkennt man, dass das Wachstum immer proportional zur Differenz zwischen `S` und dem aktuellen Wert\n ist. Die Differenz heißt im Schaubild `Delta_1`, bzw. `Delta_2`, ... In gleichen Zeitabschnitten nimmt der Abstand\n zur Schranke immer um denselben Faktor ab.\n
\n\n\n Ein Bestand oder ein Objekt schrumpft zunächst schnell und dann immer langsamer, je mehr er / es sich der\n Schranke nähert.\n
\n`f(t) = S + a·e^(k·t)`\n\n Kaffee wird kalt: `f(t) = 20 + 70·e^(-0,3t)` .. Kaffe mit 90 °C kühlt auf Zimmertemperatur 20 °C ab\n
\n\n Im Schaubild erkennt man, dass der Zerfall immer proportional zur Differenz zwischen `S` und dem aktuellen Wert\n ist. Die Differenz heißt im Schaubild `Delta_1`, bzw. `Delta_2`, ... In gleichen Zeitabschnitten nimmt der Abstand\n zur Schranke immer um denselben Faktor ab.\n
\n","links":"","depends":["Asymptoten","Eulersche Zahl","Exponentialgleichungen","Potenzgesetze","Reelle Exponenten","Logarithmus"],"attachments":[{"tag":"example","name":"Serlo","href":"https://de.serlo.org/mathe/funktionen/anwendungszusammenhaenge-anderes/wachstums-zerfallsprozesse/exponentielles-wachstum","type":"link","mime":"text/html"},{"tag":"","name":"Wachstum","file":"Wachstum.svg","mime":"image/svg+xml","type":"file","href":"data/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall/Wachstum.svg"},{"tag":"","name":"Zerfall","file":"Zerfall.svg","mime":"image/svg+xml","type":"file","href":"data/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall/Zerfall.svg"},{"tag":"","name":"Beschränktes Wachstum","file":"Beschränktes Wachstum.svg","mime":"image/svg+xml","type":"file","href":"data/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall/Beschr%C3%A4nktes%20Wachstum.svg"},{"tag":"","name":"Beschränkter Zerfall","file":"Beschränkter Zerfall.svg","mime":"image/svg+xml","type":"file","href":"data/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall/Beschr%C3%A4nkter%20Zerfall.svg"}],"priority":2,"thumb":"Beschränktes Wachstum.svg","modified":1679643077376,"author":"Holger Engels","keywords":"Wachstumsfaktor, Wachstumskonstante, Zerfallsfaktor, Zerfallskonstante, Verdopplungszeit, Halbwertszeit, Sättigungsgrenze, Sättigungswert, Schranke","educationalLevel":"10,11","typicalAgeRange":"15-16","educationalContext":"Sekundarstufe I, Sekundarstufe II","sgs":38002,"created":1679526000000,"skills":["[K3] Ich kann den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum erläutern","[K3] Ich kann die Parameter eines Funktionsterms in der Form f(x) = a·ekx + d oder f(x) = a·bx + d im Sachzusammenhang deuten"],"_attachments":{"Beschränkter Zerfall.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":16,"digest":"md5-R/nYXYdY/mqDMVR9jY7ADw==","length":63032,"stub":true},"Beschränktes Wachstum.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":15,"digest":"md5-OMvy4rMKRLzhPpops2VSiA==","length":52161,"stub":true},"Zerfall.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":14,"digest":"md5-VAMgXu+uCQBq5GeAapT4jw==","length":38724,"stub":true},"Wachstum.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":13,"digest":"md5-3PXr3/Vy4S//BnovswKZ+w==","length":32623,"stub":true}}}