\n
\n `\\display\\e = sum_(k=0)^(oo) 1/(k!)`
\n
\n definiert.\n
\n Ein und die selbe Exponentialfunktion kann mit jeder beliebigen Basis\n `b in RR_+^\"*\"` definiert werden und so kann sie auch mit der Basis `e`\n definiert werden. Dass das so ist, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze ganz\n leicht zeigen:
\n `f(x) = a·color(red)b^x = a·color(red)((e^k))^x = a·color(red)e^(color(red)k·x)` .. mit `color(red)(b = e^k)`\n
\n An einem Beispiel soll gezeigt werden, wie man einen Basiswechsel\n durchführt. Gegeben sei die Funktion `f` mit
\n `f(x) = color(red)2^x = color(red)e^(color(red)kx)`
\n Diese soll mit Basis `e` geschrieben werden:
\n `=>2 = e^k => k = ln2 ~~ 0,69`
\n `=>f(x) = e^(ln2·x)`
\n Die beiden Funktionsterme sind äquivalent. Wenn man jeweils den Graphen dazu\n zeichnet, sind diese deckungsgleich. Man kann die gleiche Funktion auch mit der\n Basis 3 (und jeder beliebigen anderen positiven reellen Basis) schreiben.\n Es folgt die Umrechnung auf Basis 3:
\n `f(x) = 2^x = 3^(kx)`
\n `=> 2 = 3^k \" \"| ln`
\n `=> ln 2 = k·ln 3`
\n `=> k = ln2/ln3`
\n `=> f(x) = 3^(ln2/ln3·x) ~~ 3^(0,63x)`
\n Auch diese Funktion ist äquivalent zu `f(x) = 2^x`\n
\n Die Verwendung der Basis `e` bringt einige Vorteile mit sich, beispielsweise\n bei der Differentialrechnung. An dieser Stelle sei nur erwähnt, dass die\n natürliche Exponentialfunktion `f(x) = e^x` die einzige\n Funktion ist, bei der an jeder Stelle der Funktionswert mit der momentanen\n Änderungsrate (Steigung) übereinstimmt. Hier ist die Änderungsrate nicht nur\n proportional zum aktellen Wert. Sie entspricht exakt dem aktuellen Wert.\n
\nVerschiebe den roten Punkt und beobachte, dass an jeder Stelle der\n Funktionswert `y` gleich der Kurvensteigung `m` ist. Das ist bei keiner\n anderen Funktion so.
\n\n Man nennt `e` die natürliche Basis und `f(x) = a·e^x` die natürliche\n Exponentialfunktion. Statt natürliche Exponentialfunktion sagt man auch\n kurz `e`-Funktion. Der Logarithmus zur Basis `e` heißt natürlicher\n Logarithmus.\n
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