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\n Man sieht dem Funktionsterm sofort an, dass sich das Schaubild für `t->oo` an die Konstante `T_U` annähert. Beim\n zweiten Blick erkennt man, dass die Temperaturänderung proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Körper und\n Umgebung ist. Am Anfang des Prozesses ist der Temperaturunterschied noch groß, darum kühlt sich der Körper noch\n schnell ab. Später, wenn der Temperaturunterschied nur noch klein ist, sinkt die Temperatur nur noch langsam.\n
\n\n Kalter Kaffee Eine frisch eingeschenkte Tasse Kaffe hat eine Temperatur von 80°C. Die Raumtemperatur beträgt\n 20°C. Nach 10 Minuten hat der Kaffee nur noch 50°C. Eingesetzt in die Formel ergibt sich:\n
\n\n Ansatz: `T(t) = 20 + (80-20)·e^(kt) = 20 + 60·e^(kt)`
\n
\n... `[t] = \"min\"`, `T(t) = ` Temperatur zum Zeitpunt `t`
\n
\n 10 Minuten: `T(10) = 50 => 20 + 60·e^(k·10) = 50` .. auflösen nach `k` ..
\n
\n `20 + 60·e^(k·10) = 50 \" \" |-20 \" \" |:60`
\n
\n `=> e^(10k) = 30/60 = 1/2 \" \" | ln`
\n
\n `=> 10k = ln(1/2) \" \" | :10`
\n
\n `=> k = 0,1 ln(1/2) = -0,1 ln(2)`
\n
\n `T(t) = 20 + 60·e^(-0,1 ln(2))`
\n
\n Die Veresterung ist eine chemische Gleichgewichtsreaktion. Gibt man Alkohol und Säure in gleicher Stoffmenge\n zusammen, so reagiert ein Teil davon zu Ester und Wasser. Wie groß diser Teil ist, hängt in erster Linie von den\n beteiligten Molekülen ab .. welcher Alkohol reagiert mit welcher Säure.\n
\n\nAlkohol + Säure ⇌ Ester + Wasser\n
\n\n Je mehr Ester bereits gebildet wurde, desto langsamer verläuft die Reaktion. Bei der Reaktion von 1000\n Alkoholmolekülen mit 1000 Säuremolekülen wird die Zahl der gebildeten Estermoleküle über die Zeit gezählt und in\n ein Koordinatensystem aufgetragen.\n
\n \nt | \n0 | \n1 | \n2 | \n3 | \n4 | \n5 | \n10 | \n15 | \n
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
N(t) | \n0 | \n156 | \n271 | \n355 | \n419 | \n466 | \n570 | \n593 | \n
`[t] = \"min\"`, `N(t) = ` Anzahl Estermolekühle zum Zeitpunt `t`
\n \nDer Prozess kann mathematisch als beschränktes Wachstum beschrieben werden mit der Formel
\n `N(t) = S - S ·e^(kt)` .. mit Schranke `S` und Wachstumskonstante `k`\n\n Der Schranke `S` kommt hier die Bedeutung des Gleichgewichtsniveaus zu. Wenn `S` Estermoleküle gebildet\n wurden, ist der Gleichgewichtszustand erreicht. Mathematisch betrachtet und für sehr viel größere\n Stoffmengen wird dieser Zustand nie ganz erreicht, sondern nur beliebig angenähert. `y = S` ist die\n Asymptote der Funktion.\n
\n\n Die Funktion kann mit Hilfe einer Regression aus den Meßpunkten bestimmt werden. Der Anschaulichkeit\n halber soll er hier mit Hilfe von GeoGebra durch einstellen von Schiebereglern bestimmt werden. Öffne\n das GeoGebra Veresterung.ggb und stelle zunächst mit dem Schieberegler für `S` die Schranke / Asymptote\n auf `y=600`. Stelle dann den Regler für `k` so ein, dass die Kurve durch die Punke läuft.\n
\n\n `N(t) = 600 - 600 ·e^(-0,3·t)`\n
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