\n `\\display\\= lim_(h->0) (2,1·((2+h)^2-2^2))/(h)` `f(x) = 2,1·x^2` .. Differentialquotient .. `\\display\\lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 2,1·((2+h)^2-2^2)/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 2,1·(2^2+2h2+h^2-2^2)/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 2,1·(4h+h^2)/(h)=(h(4+h))/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 2,1·4+h`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 8,4+h`
\n `= 8,4`
\n \n Änderungsrate an beliebiger Stelle `x`
\n
\n `\\display\\= lim_(h->0) (2,1·((x+h)^2-x^2))/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 2,1·((x+h)^2-x^2)/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 2,1·(x^2+2hx+h^2-x^2)/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 2,1·(2hx+h^2)/(h)=(h(2x+h))/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 2,1·2x+h`
\n `= 2,1·2x`
\n `=> f’(x) = 2,1·2x`\n
\n Bei der ersten Berechnung wurde die Änderungsrate speziell für die Stelle `x_0=2` durchgeführt. Sie bestätigt den Wert `8,4`, den wir schon mit der Näherung rausbekommen hatten. Die zweite\n Berechnung ist allgemein gültig für alle Stellen `x=x_0`, bzw. alle Zeitpunkte `t=t_0`. Es entsteht die\n Ableitungsfunktion `f’(t) = 2,1·2t`. Mit dieser läßt sich die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt `t_0 = 2` [s]\n nun ebenfalls berechnen. Und zwar, indem man den Zeitpunkt `t_0=2` einsetzt.\n
\n`f’(2)=4,2·2=8,2` [m/s]\n
\n Das ist bei jeder Funktion so. Wenn die Ableitungsfunktion bekannt ist, lässt sich die Momentane Änderungsrate durch\n einsetzen der Stelle bestimmen.\n
\n\n Wenn man eine solche Herleitungen für unterschiedliche Funktionen durchführt, findet man gewisse Zusammenhänge\n zwischen der Funktion und der zugehörigen Ableitungsfunktion. Diese Zusammenhänge sind als sogenannte\n Ableitungsregeln allgemeingültig formuliert. Mit Hilfe der Ableitungsregeln lässt sich die Ableitungsfunktion\n bestimmen, ohne den Differentialquotient anzusetzen.\n
\nSiehe Ableitungsregeln
\n\n","thumb":"","summary":"Die Ableitungsfunktion f’(x) einer Funktion f(x) liefert für jede Stelle x die momentane Änderungsrate","attachments":[],"priority":2,"educationalLevel":"10,11,12","typicalAgeRange":"15-17","educationalContext":"Sekundarstufe I, Sekundarstufe II","sgs":"38002"}