\nGesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferzahl in diesem Bereich liegt.\n\n
\n Die Näherung funktioniert am besten für `p` in der Nähe von 0,5 und große `n`. Als Fausregel gilt `sigma > 3`.\n
\n\n Die linke Spalte der Tabelle ist eine Näherung für etwas, das sich auch sehr einfach berechnen lässt. Die rechte\n Spalte lässt den Rückschluss von der Sicherheitswahrscheinlichkeit auf die Sigmaumgebung zu, was ohne Näherung nur\n durch aufwändiges Probieren möglich wäre.\n
\n\nGegeben sei n=50 und p = 0,3 `=>` dann ist µ = 15 und σ = 3,24
\nVorwärts Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die Trefferzahl in die σ-Umgebung?
\nDie mit den roten Linien markierte Umgebung ist `mu +- sigma`. Gefragt ist nach\n der grün markierten kummulierten Wahrscheinlichkeit.
\nBerechnung: | \n`P(11,76 ≤ X ≤ 18,24) = P(12 ≤ X ≤ 18)` \n `= P(X ≤ 18) - P(X ≤ 11) ≈ 0,72 = 72%` | \n
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Näherung: | \nAus Tabelle entnehmen \n `P(12 ≤ X ≤ 18) = 68,3%` | \n
Rückwärts In welcher Umgebung liegt die Trefferzahl mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit?
\nDie mit den roten Linien markierte Umgebung ist `mu +- 1,96·sigma`,\n denn dass ist laut Tabelle die Umgebung für 95% Sicherheitswahrscheinlichkeit.\n Gefragt ist nach dem grün markierten Intervall.
\nNäherung: | \nAus Tabelle entnehmen \n `[15 - 1,96·3,24; 15 + 1,96·3,24] = [8,65;21,35] = [9;21]` | \n
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\n Variiere die Anzahl Wiederholungen `n` und die Trefferwahrscheinlichkeit `p` und\n beobachte, wie sich die Verteilung verändert. Die vertikalen Linien markieren\n den Mittelwert `mu` mit der Standardabweichung `+-sigma`. Grün markiert sind die\n Balken für die `k`s, die in die Sigmaumgebung fallen.\n
\n\n\n","summary":"Umgebungen um den Erwartungswert","created":1592085600000,"modified":1682955076061,"author":"Holger Engels","links":"","keywords":"Sigmaumgebung, Sicherheitswahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Standardabweichung, Näherung, Interaktives Erkunden, Spielerisches Lernen","thumb":"Sigma vorwärts.svg","educationalLevel":"10,11,12","typicalAgeRange":"15-17","educationalContext":"Sekundarstufe I, Sekundarstufe II","sgs":"38004","skills":[],"_attachments":{"binomial-sigma.html":{"content_type":"text/html","revpos":24,"digest":"md5-B0ExPcL7tBxQqWi2uUMINA==","length":6475,"stub":true},"Sigma rückwärts.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":15,"digest":"md5-gUmEkRfcFyfOHTDarB0KIQ==","length":70380,"stub":true},"Sigma vorwärts.svg":{"content_type":"image/svg+xml","revpos":14,"digest":"md5-qsRyhbSyhGrY70Wb+Mdo2A==","length":67608,"stub":true}}}