\n `\\display\\= lim_(h->0) (x^2+2hx+h^2-x^2)/(h)` `f(x) = x^3` .. Differentialquotient .. `\\display\\lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) (2hx+h^2)/(h)=(h(2x+h))/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 2x+h`
\n `= 2x`
\n `=> f’(x) = 2x`\n \n Herleitung der Ableitungsfunktion für x³
\n
\n `\\display\\= lim_(h->0) (x^3+2hx^2+h^2x+hx^2+2h^2x+h^3-x^3)/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) (3hx^2+3h^2x+h^3)/(h)=(h(3x^2+3hx+h^2))/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) 3x^2+3hx+h^2`
\n `= 3x^2`
\n `=> f’(x) = 3x^2`\n
\n Wenn man den Differentialquotient für einige Potenzfunktionen herleitet, kann man ein Muster erkennen, wie Funktion und Ableitungsfunktion zusammenhängen.\n
\n`f(x) = x^2 => f’(x) = 2x`\nDer Exponent der Funktion wird\n in der Ableitungsfunktion als Faktor vornangestellt. Der Exponent der Ableitungsfunktion wird um eins verringert.\n
\nPotenzregel: `f(x) = x^n => f’(x) = n·x^(n-1)`
\n\n\n Die Regeln sollen im Folgenden an ausgesuchten Beispielen hergeleitet werden.\n
\nDifferentialquotient .. `\\display\\lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) (color(red)(a)·(x+h)^2-color(red)(a)·x^2)/(h)`Differentialquotient .. `\\display\\lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/(h)`
\n `\\display\\= lim_(h->0) (color(red)((x+h)^3)+color(blue)((x+h)^2)-color(red)(x^3)-color(blue)(x^2))/(h)`Faktorregel: `f(x) = a·g(x) => f’(x) = a·g'(x)`
\nSummenregel: `f(x) = u(x)+v(x) => f’(x) = u'(x) + v'(x)`
\n\nBeispiel mit allen drei Regeln
\n`f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 4x^3 - 2x^2 + 3x^1 - 1x^0`